Рейтинг@Mail.ru






Яндекс.Метрика
 



100 Hot Books (Амазон, Великобритания)


Дж. Харшаньи, Р. Зельтен  Общая теория выбора равновесия в играх / Пер. с англ. Ю.М. Донца, Н.А. Зенкевича, Л.А. Петросяна, А.Е. Лукьяновой, В.В. Должикова под редакцией Н.Е. Зенкевича — СПб. : Экономическая школа, 2001. — 424 с.


1.3. Неотменяемые обязательства в бескоалиционной игре

Существует несколько способов включения самообязывающих ходов в развернутую форму игры. Например, выигрыши можно определить так, чтобы любое нарушение игроком обязательства повлекло серьезные наказания, или можно включить в игру до­полнительных игроков, задача которых состояла бы в наказании нарушителей. Но простейший способ состоит в следующем. В под­ходящей точке дерева игры мы предоставляем соответствующе­му игроку право выбора между двумя ходами, скажем α и β, где α интерпретируется как обязательство что-либо сделать или не сделать на некотором дальнейшем этапе (этапах) игры, а βкак несвязывание себя обязательством. Обязательство, представ­ленное ходом α, может быть безусловным или может стать дей­ственным условно в зависимости от наступления некоторых бу­дущих событий. Если игрок выбирает ход β, то начиная с этого момента игра будет определяться остальной частью дерева ис­ходной игры, которую мы будем называть поддеревом Т. Но если он выбирает ход α, то начиная с этого момента игра будет опре­деляться модифицированным вариантом поддерева Т, который обозначим через Т'. Т' будет отличаться от Т тем, что на нем будут удалены все ветви, соответствующие ходам, нарушающим обязательство, взятое на себя данным игроком при выборе хода а (т. е. ходы, нарушающие обязательство, будут просто недоступ­ны этому игроку).

Конечно, может случиться и так, что устранение ходов, нару­шающих обязательство, оставит некоторые из информационных множеств игроков с одной-единственной ветвью (одним-единственным ходом); это означает, что у него более нет реальной альтер­нативы ни в одном из этих информационных множеств. Такие информационные множества (и эти единственные ветви) всегда можно опустить, так как информационные множества, не допу­скающие реальной альтернативы, не имеют значения. Этот метод можно легко обобщить на случаи, когда игрок может выбирать не только между связыванием и несвязыванием себя конкрет­ным обязательством, но и из ряда альтернативных обязательств, Например, развернутая форма игры, обсуждавшейся в разде­ле 1.2, может быть представлена деревом игры на рисунке 1.2. Числа 1 и 2, расположенные справа от двух символов (двух ова­лов) информационных множеств, указывают, какой игрок имеет ход в данном информационном множестве.

 

 

Теперь способность игроков заключить принудительное соглашение по применению своих С-стратегий мы можем представить следующим образом. В начале игры мы предоставляем игроку 1 возможность сделать выбор из ходов α* и β*, где α* означает «я обязуюсь применять стратегию С* при условии, что игрок 2 обязуется применять стратегию С**», тогда как β* означает «я не беру на себя никаких обязательств». Если игрок действительно выбрал ход α*, мы предоставляем теперь игроку 2 возможность выбора из ходов α** и β**, где α** означает «да, я действительно обязуюсь применять стратегию С**, как предложил игрок 1», а ход β** означает «я не беру на себя никаких обязательств».

      Теперь можно выделить три класса.

1. Если игрок 1 выберет α*, а игрок 2 выберет α**, то оба игрока будут обязаны применять свои С-стратегии. Следовательно, остальная
часть игры теперь сведется к поддереву Т1, показанному на рисунке 1.3.

 

 

Но, так как каждое из этих двух информационных множеств на Т1 имеет лишь одну исходящую из него ветвь, мы можем опустить оба информационных множества и обе ветви (С* и С**), что сводится к замене всего поддерева Т1 на вектор выигрышей  , порожденный этим поддеревом.

    

     2. Если игрок 1 выберет α*, а игрок 2 выберет β*, то оба игрока не будут связаны обязательством по ограничению своей свободы действий. Следовательно, остальная часть игры будет определяться поддеревом T2, которое является лишь копией де­рева исходной игры.

     3. Если игрок 1 выберет (β*, то игроки еще раз сохранят свою свободу действий, а остальная часть игры будет определяться под­деревом Т3, которое опять-таки будет лишь копией дерева исход­ной игры.

      Дерево расширенной игры, соответственно, показано на ри­сунке 1.4.

      В нормальной форме расширенной игры мы можем охарак­теризовать стратегии каждого игрока тремя символами. Например, первый символ

 

 

 

(α* или β* для игрока 1 и α** или β** для игрока 2) может использоваться для обозначения выбора игро­ком между связыванием и несвязыванием себя обязательством, второй символ (С* или N* для игрока 1 и С** или N**для игро­ка 2) может обозначать стратегию, которой он будет придержи­ваться на поддереве Т2, а третий символ (С*  или N* или, альтер­нативно, С** или N**) может обозначать стратегию, которой он будет придерживаться на поддереве Т3. Таким образом, одной из возможных стратегией игрока 1 будет α*C*N*. Очевидно, что каждый из игроков будет иметь 23 = 8 различных чистых стра­тегий.

     Нетрудно проверить, что расширенная игра имеет одну совершенную ситуацию равновесия в чистых стратегиях: Е1 = (α*N*N*, α**N**N**). Иными словами, если оба игрока спо­собны связать себя обязательствами по применению С-стратегий, то очевидно, что в их интересах делать это, чтобы получить выиг­рыши (10, 10). В то же время определение E1 содержит два сим­вола N* и два N**. Они указывают на то, что каждый игрок будет применять свою N-стратегию, если противник откажется взять на себя обязательство по применению своей С-стратегии. (Конечно, эта часть стратегического плана каждого из игроков не будет реализована, так как противник возьмет на себя требу­емое обязательство).

     Интуитивно Е1 можно отождествить с кооперативным реше­нием

(С*, С**) исходной игры. Поэтому можно утверждать, что, включая обязательные ходы α* и α** (а также необязательные ходы β* и β**) в развернутую форму игры, мы, по существу, превра­щаем кооперативное решение (С*, С**) в ситуацию равновесия, чтобы трансформировать ее в исход, достигаемый рациональны­ми игроками, даже если игра (или, точнее, расширенная версия игры) проводится как формально бескоалиционная. Действитель­но, поскольку Е1 — единственная ситуация совершенного равно­весия расширенной игры, мы превратили Е1 в единственный исход, согласующийся с рациональным поведением обоих игро­ков. (Более подробный анализ расширенной игры см. в разде­ле 1.14. Как мы постараемся показать в разделах 1.9 и 1.10, с рациональным поведением игроков в бескоалиционной игре со­вместимы только ситуации совершенного равновесия).

 

вернуться

 

 

Координация материалов. Экономическая школа








Контакты


Институт "Экономическая школа" Национального исследовательского университета - Высшей школы экономики

Директор Иванов Михаил Алексеевич; E-mail: seihse@mail.ru; sei-spb@hse.ru

Издательство Руководитель Бабич Владимир Валентинович; E-mail: publishseihse@mail.ru

Лаборатория Интернет-проектов Руководитель Сторчевой Максим Анатольевич; E-mail: storch@mail.ru

Системный администратор Григорьев Сергей Алексеевич; E-mail: _sag_@mail.ru