ОГЛАВЛЕНИЕ
1.Теория множеств. Отношения. Функции
Логические операции. Таблицы истинности. Основные понятия теории множеств. Декартово произведение. Отношения. Типы отношений порядка. Лемма Цорна. Функции. Обратные функции. Конечные и счетные множества.
2. Уравнения.
Функции одной переменной. Комплексные числа
Корни квадратного и кубического уравнений. Формулы Кардано. Многочлены. Правило знаков Декарта. Классификация конических сечений и их графики. Свойства функций. Асимптоты. Метод приближения Ньютона. Касательная и нормаль. Степень, экспонента и логарифм. Тригонометрические и гиперболические функции. Комплексные числа. Формула Муавра. Формулы Эйлера. Корни степени п.
3. Пределы. Непрерывность. Дифференцирование (по одной переменной)
Пределы. Непрерывность. Равномерная непрерывность. Теорема о промежуточном значении. Дифференцируемые функции. Производные элементарных функций. Теоремы о среднем значении. Правило Лопиталя. Дифференциал.
4. Частные производные
Частные производные. Теорема Янга. Функции класса гладкости Сk. Цепное правило. Дифференциал. Наклон линии уровня. Теорема о неявной функции. Однородные функции. Теорема Эйлера. Гомотетичные функции. Градиент и производная по направлению. Касательная гиперплоскость.
5. Эластичность. Эластичности замены
Определение. Правило Маршалла. Свойства эластичности. Эластичность по направлению. Предельная норма замены. Эластичность замены.
6. Системы уравнений
Общий вид системы уравнений. Матрица частных производных. Обобщенная теорема о неявной функции. Степени свободы. Функциональная зависимость. Якобиан. Теорема об обратной функции. Существование локальной и глобальной обратных функций. Теоремы Гейла-Никайдо. Теорема о сжимающем отображении. Теоремы Брауэра и Какутани о неподвижной точке. Полурешетки в Rn. Теорема Тарски о неподвижной точке. Основные случаи разрешимости системы линейных уравнений.
7. Неравенства
Неравенства треугольника. Неравенства между средними — арифметическим, геометрическим и гармоническим. Неравенства Гёльдера, Коши-Шварца, Чебышева, Минковского и Иенсена.
8. Ряды.
Формула Тейлора
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сходимость бесконечного ряда. Признаки сходимости. Приближения первого и второго порядка. Формулы Маклорена и Тейлора. Разложение функции в ряд. Биномиальные коэффициенты. Биномиальная формула Ньютона. Полиномиальная формула. Формулы суммирования. Константа Эйлера.
9.
Интегрирование
Неопределенный интеграл. Интегрирование элементарных функций. Определенный интеграл. Сходимость интегралов. Сравнительный признак сходимости. Формула Лейбница. Гамма-функция. Формула Стирлинга. Бета-функция. Формула трапеций. Формула Симпсона. Кратные интегралы.
10. Разностные уравнения
Решение линейных уравнений первого, второго и высших порядков. Устойчивость. Теорема Шура. Матричные формулировки.
11. Дифференциальные
уравнения
Уравнение с разделяющимися переменными, однородное и логистическое. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Линейные уравнения порядка п. Метод вариации постоянных. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера. Линейное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Устойчивость линейного уравнения. Условия устойчивости Рауса-Гурвица. Нормальные системы. Линейные системы. Матричные формулировки. Резольвента. Локальные и глобальные теоремы существования и единственности решения. Автономная система. Положения равновесия. Интегральные кривые. Локальная и глобальная (асимптотическая) устойчивость. Периодические решения. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Теорема Ляпунова. Гиперболические положения равновесия. Функции Ляпунова. Модели Лотка-Вольтерра. Теорема о локальной седловой точке. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Квазилинейные уравнения. Теорема Фробениуса.
12. Топология в
Евклидовом пространстве
Основные понятия топологии точечных множеств. Сходимость последовательностей. Последовательность Коши. Непрерывные функции. Относительная топология. Равномерная непрерывность. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей. Соответствие. Полунепрерывность снизу и сверху. Инфимум и супремум.
13.
Выпуклость
Выпуклое множество. Выпуклая оболочка. Теорема Каратеодори. Экстремальные точки. Теорема Крейна-Мильмана. Теоремы отделимости. Вогнутые и выпуклые функции. Гессиан. Квазивогнутые и квазивыпуклые функции. Окаймленный гессиан. Псевдовогнутые и псевдовыпуклые функции.
14. Классическая теория оптимизации
Основные определения. Теорема об экстремальном значении. Стационарная точка. Условия первого порядка. Седловая точка. Результаты для функций одной переменной. Точка перегиба. Условия второго порядка. Оптимизация с ограничениями в виде равенств. Метод Лагранжа. Функции наилучшего значения и чувствительность решения задачи. Свойства множителей Лагранжа. Теорема покрытия.
15. Линейное и нелинейное программирование
Основные определения и результаты. Двойственность. Теневые цены. Дополняющая нежесткость. Лемма Фаркаша. Теоремы Куна-Таккера. Свойства седловой точки. Квазивогнутое программирование. Свойства функции наилучшего значения. Теорема покрытия. Условия неотрицательности.
16.
Вариационное исчисление и теория оптимального управления
Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Условие Лежандра. Достаточные условия. Условия трансверсальности. Функции невязок. Более сложные вариационные задачи. Теория оптимального управления. Принцип максимума. Достаточные условия. Свойства функции наилучшего значения. Линейная квадратичная задача. Бесконечный интервал. Чистые ограничения состояния. Смешанные и чистые ограничения состояния.
17. Дискретная динамическая оптимизация
Динамическое программирование. Функция наилучшего значения. Фундаментальное уравнение. Формулировка «со свободным параметром управления». Разностное уравнение Эйлера в векторной форме. Бесконечный интервал. Дискретная теория оптимального управления.
18.
Векторы в Rn.
Абстрактные пространства
Линейная зависимость и независимость. Подпространства. Базис. Скалярное произведение. Норма вектора. Угол между векторами. Векторное пространство. Метрическое пространство. Нормированное векторное пространство. Банахово пространство. Теорема Асколи. Теорема Шаудера о неподвижной точке. Неподвижные точки сжимающего отображения. Достаточное условие Блэквелла. Пространство с внутренним произведением. Гильбертово пространство. Неравенства Коши-Шварца и Бесселя. Формула Парсеваля.
19.
Матрицы
Специальные виды матриц. Действия с матрицами. Обратные матрицы и их свойства. След. Ранг. Нормы матриц. Экспоненциальная матрица. Линейные преобразования. Обобщенные обратные матрицы. Обратная матрица Мура-Пенроза. Блочные матрицы. Матрицы с комплексными элементами.
20. Определители
Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей матрицы порядка п. Алгебраическое дополнение. Определитель Вандермонда и другие частные виды определителей. Миноры. Правило Крамера.
21. Собственные числа. Квадратичные формы
Собственные числа и собственные векторы. Диагонализация. Спектральная теорема. Теорема Жордана о разложении. Лемма Шура. Теорема Кэли-Гамильтона. Квадратичные формы. Типы определенности квадратичных форм и соответствующих матриц. Совместная диагонализация. Определенность квадратичной формы при линейных ограничениях.
22. Специальные матрицы. Системы Леонтьева
Свойства идемпотентной матрицы, ортогональной матрицы и матрицы перестановок. Неотрицательные матрицы. Корни Фробениуса. Разложимые матрицы. Матрицы с доминирующей главной диагональю. Системы Леонтьева.
23. Кронекерово произведение и векторизация матриц
Дифференцирование векторов и матриц
Определение и свойства кронекерова (тензорного) произведения. Оператор векторизации матрицы и его свойства. Дифференцирование векторов и матриц по элементам, векторам и матрицам.
24.
Сравнительная статика
Условия равновесия. Отношения взаимной зависимости. Монотонная сравнительная статика. Полурешетки в Супермодулярность. Возрастающие различия.
25.
Свойства функций затрат и прибыли
Функция затрат. Условная функция спроса на факторы производства. Лемма Шеп-парда. Функция прибыли. Функции спроса на факторы производства. Функция предложения. Лемма Хотеллинга. Уравнение Пу. Эластичность замены в теории производства. Эластичности замены по Аллену-Узаве и по Моришиме. Функции Кобба-Дугласа и с постоянной эластичностью замены. Закон минимума, функции затрат Дьюверта и транс логарифмическая.
26.
Теория поведения потребителя
Отношение предпочтения. Функция полезности. Максимизация полезности. Функция косвенной полезности. Функция спроса потребителя. Равенство Роя. Функции издержек. Функции спроса по Хиксу. Эластичности Курно, Энгеля и Слуцкого. Уравнение Слуцкого. Эквивалентное и компенсирующее изменения. Специальные формы функций — модели с линейными издержками, с почти идеальным спросом AIDS
и транслогарифмическая функция издержек. Индексы цен. Идеальный индекс Фишера.
27.
Сведения из финансов и теории роста
Сложные проценты. Эффективный годовой процент. Текущая стоимость. Внутренняя норма доходности. Правило Норстрёма. Непрерывная капитализация процентов. Модель роста Солоу. Модель роста Рамсея.
28.
Риск и теория несклонности к риску
Абсолютная и относительная несклонность к риску. Премия за риск Эрроу-Пратта. Стохастическое доминирование первой и второй степени. Теорема Адара-Рассела. Теорема Ротшильда-Штиглица.
29.
Финансы и стохастический анализ
Связь доходности и риска финансового актива в модели САРМ. Модель доходности опциона Блэка-Шоулза. Устойчивость. Обобщенная модель Блэка-Шоулза. Парти-тет put-call. Соответствие между американскими опционами put
и call. Американский бессрочный опцион put. Стохастический интеграл. Формула Ито. Стохастическая задача оптимального управления. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана.
30.
Некооперативная теория игр
Игра п лиц в стратегической форме. Равновесие по Нэшу. Смешанные стратегии. Строго доминирующие стратегии. Игра двух лиц. Игра с нулевой суммой. Симметричная игра. Свойство седловой точки равновесия по Нэшу. Классический принцип минимакса для случая игры двух лиц с нулевой суммой. Эволюционная теория игр.
31.
Вероятность и статистика
Аксиомы вероятностей. Правила вычисления вероятностей. Условная вероятность. Стохастическая независимость. Правило Байеса. Случайные переменные (одномерный случай). Функция плотности распределения вероятностей. Функция распределения. Математическое ожидание. Среднее значение. Дисперсия. Стандартное отклонение. Центральные моменты. Коэффициенты асимметрии и эксцесса. Неравенства Чебышева и Иенсена. Производящие функции моментов и характеристические функции. Случайные переменные (двумерный случай). Ковариация. Неравенство Коши-Шварца. Коэффициент корреляции. Предельные и условные плотности. Стохастическая независимость. Условные математическое ожидание и диспер-
сия. Преобразование стохастических переменных. Статистические выводы. Смещение. Среднеквадратичная ошибка. Вероятностные пределы. Состоятельность. Критерий проверки гипотез. Мощность статистического критерия. Ошибки I и II типа. Уровень значимости. Критическая вероятность (Р-значение). Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
32. Распределения вероятностей. Метод наименьших квадратов
Распределения бета, биномиальное, бинормальное, х2-, экспоненциальное, экстремального значения (Гумбеля), F-, гамма-, геометрическое, гипергеометрическое, Лапласа, логистическое, логарифмически нормальное, полиномиальное, многомерное нормальное, отрицательное биномиальное, нормальное, Парето, Пуассона, t-распределение стьюдента, равномерное и Вейбулла. Метод наименьших квадратов. Множественная регрессия.
Литература
Предметный указатель
Вернуться
Координация материалов. Экономическая школа
