Рейтинг@Mail.ru






Яндекс.Метрика
 




ТИНЬКОФФ БАНК

Тинькофф RU CPL




ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1.Теория множеств. Отношения. Функции

Логические операции. Таблицы истинности. Основные понятия теории множеств. Декартово произведение. Отношения. Типы отношений порядка. Лемма Цорна. Функции. Обратные функции. Конечные и счетные множества.

2. Уравнения. Функции одной переменной. Комплексные числа

Корни квадратного и кубического уравнений. Формулы Кардано. Многочлены. Правило знаков Декарта. Классификация конических сечений и их графики. Свой­ства функций. Асимптоты. Метод приближения Ньютона. Касательная и нормаль. Степень, экспонента и логарифм. Тригонометрические и гиперболические функ­ции. Комплексные числа. Формула Муавра. Формулы Эйлера. Корни степени п.

3. Пределы. Непрерывность. Дифференцирование (по одной переменной)

Пределы. Непрерывность. Равномерная непрерывность. Теорема о промежуточном значении. Дифференцируемые функции. Производные элементарных функций. Те­оремы о среднем значении. Правило Лопиталя. Дифференциал.

4. Частные производные

Частные производные. Теорема Янга. Функции класса гладкости Сk. Цепное пра­вило. Дифференциал. Наклон линии уровня. Теорема о неявной функции. Однород­ные функции. Теорема Эйлера. Гомотетичные функции. Градиент и производная по направлению. Касательная гиперплоскость.

5. Эластичность. Эластичности замены

Определение. Правило Маршалла. Свойства эластичности. Эластичность по направ­лению. Предельная норма замены. Эластичность замены.

6. Системы уравнений

Общий вид системы уравнений. Матрица частных производных. Обобщенная теоре­ма о неявной функции. Степени свободы. Функциональная зависимость. Якобиан. Теорема об обратной функции. Существование локальной и глобальной обратных функций. Теоремы Гейла-Никайдо. Теорема о сжимающем отображении. Теоремы Брауэра и Какутани о неподвижной точке. Полурешетки в Rn. Теорема Тарски о неподвижной точке. Основные случаи разрешимости системы линейных уравне­ний.

7. Неравенства

Неравенства треугольника. Неравенства между средними — арифметическим, гео­метрическим и гармоническим. Неравенства Гёльдера, Коши-Шварца, Чебышева, Минковского и Иенсена.

8. Ряды. Формула Тейлора

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сходимость бесконечного ряда. Признаки сходимости. Приближения первого и второго порядка. Формулы Маклорена и Тейлора. Разложение функции в ряд. Биномиальные коэффициенты. Би­номиальная формула Ньютона. Полиномиальная формула. Формулы суммирова­ния. Константа Эйлера.

9. Интегрирование

Неопределенный интеграл. Интегрирование элементарных функций. Определен­ный интеграл. Сходимость интегралов. Сравнительный признак сходимости. Фор­мула Лейбница. Гамма-функция. Формула Стирлинга. Бета-функция. Формула трапеций. Формула Симпсона. Кратные интегралы.

10. Разностные уравнения

Решение линейных уравнений первого, второго и высших порядков. Устойчивость. Теорема Шура. Матричные формулировки.

11. Дифференциальные уравнения

Уравнение с разделяющимися переменными, однородное и логистическое. Линей­ные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Линейные уравнения порядка п. Метод вариации по­стоянных. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера. Линейное уравнение порядка n с постоянными коэффициен­тами. Устойчивость линейного уравнения. Условия устойчивости Рауса-Гурвица. Нормальные системы. Линейные системы. Матричные формулировки. Резольвен­та. Локальные и глобальные теоремы существования и единственности решения. Автономная система. Положения равновесия. Интегральные кривые. Локальная и глобальная (асимптотическая) устойчивость. Периодические решения. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Теорема Ляпунова. Гиперболические положения равнове­сия. Функции Ляпунова. Модели Лотка-Вольтерра. Теорема о локальной седловой точке. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Квазилинейные уравнения. Теорема Фробениуса.

12. Топология в Евклидовом пространстве

Основные понятия топологии точечных множеств. Сходимость последовательно­стей. Последовательность Коши. Непрерывные функции. Относительная тополо­гия. Равномерная непрерывность. Поточечная и равномерная сходимость функци­ональных последовательностей. Соответствие. Полунепрерывность снизу и сверху. Инфимум и супремум.

13. Выпуклость

Выпуклое множество. Выпуклая оболочка. Теорема Каратеодори. Экстремальные точки. Теорема Крейна-Мильмана. Теоремы отделимости. Вогнутые и выпуклые функции. Гессиан. Квазивогнутые и квазивыпуклые функции. Окаймленный гес­сиан. Псевдовогнутые и псевдовыпуклые функции.

14. Классическая теория оптимизации

Основные определения. Теорема об экстремальном значении. Стационарная точка. Условия первого порядка. Седловая точка. Результаты для функций одной пере­менной. Точка перегиба. Условия второго порядка. Оптимизация с ограничениями в виде равенств. Метод Лагранжа. Функции наилучшего значения и чувствитель­ность решения задачи. Свойства множителей Лагранжа. Теорема покрытия.

15. Линейное и нелинейное программирование

Основные определения и результаты. Двойственность. Теневые цены. Дополняю­щая нежесткость. Лемма Фаркаша. Теоремы Куна-Таккера. Свойства седловой точки. Квазивогнутое программирование. Свойства функции наилучшего значе­ния. Теорема покрытия. Условия неотрицательности.

16. Вариационное исчисление и теория оптимального управления

Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Условие Лежандра. Достаточные условия. Условия трансверсальности. Функции невязок. Бо­лее сложные вариационные задачи. Теория оптимального управления. Принцип максимума. Достаточные условия. Свойства функции наилучшего значения. Ли­нейная квадратичная задача. Бесконечный интервал. Чистые ограничения состоя­ния. Смешанные и чистые ограничения состояния.

17. Дискретная динамическая оптимизация  

Динамическое программирование. Функция наилучшего значения. Фундаменталь­ное уравнение. Формулировка «со свободным параметром управления». Разностное уравнение Эйлера в векторной форме. Бесконечный интервал. Дискретная теория оптимального управления.

18. Векторы в Rn. Абстрактные пространства

Линейная зависимость и независимость. Подпространства. Базис. Скалярное про­изведение. Норма вектора. Угол между векторами. Векторное пространство. Метри­ческое пространство. Нормированное векторное пространство. Банахово простран­ство. Теорема Асколи. Теорема Шаудера о неподвижной точке. Неподвижные точ­ки сжимающего отображения. Достаточное условие Блэквелла. Пространство с внутренним произведением. Гильбертово пространство. Неравенства Коши-Шварца и Бесселя. Формула Парсеваля.

19. Матрицы

Специальные виды матриц. Действия с матрицами. Обратные матрицы и их свой­ства. След. Ранг. Нормы матриц. Экспоненциальная матрица. Линейные преобра­зования. Обобщенные обратные матрицы. Обратная матрица Мура-Пенроза. Блоч­ные матрицы. Матрицы с комплексными элементами.

20. Определители

Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей матрицы порядка п. Алгебраическое дополнение. Определитель Вандермонда и другие частные виды определителей. Миноры. Правило Крамера.

21. Собственные числа. Квадратичные формы

Собственные числа и собственные векторы. Диагонализация. Спектральная тео­рема. Теорема Жордана о разложении. Лемма Шура. Теорема Кэли-Гамильтона. Квадратичные формы. Типы определенности квадратичных форм и соответству­ющих матриц. Совместная диагонализация. Определенность квадратичной формы при линейных ограничениях.

22. Специальные матрицы. Системы Леонтьева 

Свойства идемпотентной матрицы, ортогональной матрицы и матрицы перестано­вок. Неотрицательные матрицы. Корни Фробениуса. Разложимые матрицы. Ма­трицы с доминирующей главной диагональю. Системы Леонтьева.

23. Кронекерово произведение и векторизация матриц

Дифференцирование векторов и матриц  

Определение и свойства кронекерова (тензорного) произведения. Оператор векто­ризации матрицы и его свойства. Дифференцирование векторов и матриц по эле­ментам, векторам и матрицам.

24. Сравнительная статика  

Условия равновесия. Отношения взаимной зависимости. Монотонная сравнитель­ная статика. Полурешетки в      Супермодулярность. Возрастающие различия.

25. Свойства функций затрат и прибыли  

Функция затрат. Условная функция спроса на факторы производства. Лемма Шеп-парда. Функция прибыли. Функции спроса на факторы производства. Функция предложения. Лемма Хотеллинга. Уравнение Пу. Эластичность замены в теории производства. Эластичности замены по Аллену-Узаве и по Моришиме. Функции Кобба-Дугласа и с постоянной эластичностью замены. Закон минимума, функции затрат Дьюверта и транс логарифмическая.

26. Теория поведения потребителя

Отношение предпочтения. Функция полезности. Максимизация полезности. Функ­ция косвенной полезности. Функция спроса потребителя. Равенство Роя. Функции издержек. Функции спроса по Хиксу. Эластичности Курно, Энгеля и Слуцкого. Уравнение Слуцкого. Эквивалентное и компенсирующее изменения. Специальные формы функций — модели с линейными издержками, с почти идеальным спро­сом AIDS и транслогарифмическая функция издержек. Индексы цен. Идеальный индекс Фишера.

27. Сведения из финансов и теории роста

Сложные проценты. Эффективный годовой процент. Текущая стоимость. Внутрен­няя норма доходности. Правило Норстрёма. Непрерывная капитализация процен­тов. Модель роста Солоу. Модель роста Рамсея.

28. Риск и теория несклонности к риску

Абсолютная и относительная несклонность к риску. Премия за риск Эрроу-Пратта. Стохастическое доминирование первой и второй степени. Теорема Адара-Рассела. Теорема Ротшильда-Штиглица.

29. Финансы и стохастический анализ 

Связь доходности и риска финансового актива в модели САРМ. Модель доходности опциона Блэка-Шоулза. Устойчивость. Обобщенная модель Блэка-Шоулза. Парти-тет put-call. Соответствие между американскими опционами put и call. Американ­ский бессрочный опцион put. Стохастический интеграл. Формула Ито. Стохастиче­ская задача оптимального управления. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана.

30. Некооперативная теория игр  

Игра п лиц в стратегической форме. Равновесие по Нэшу. Смешанные стратегии. Строго доминирующие стратегии. Игра двух лиц. Игра с нулевой суммой. Симмет­ричная игра. Свойство седловой точки равновесия по Нэшу. Классический прин­цип минимакса для случая игры двух лиц с нулевой суммой. Эволюционная теория игр.

31. Вероятность и статистика 

Аксиомы вероятностей. Правила вычисления вероятностей. Условная вероятность. Стохастическая независимость. Правило Байеса. Случайные переменные (одномер­ный случай). Функция плотности распределения вероятностей. Функция распре­деления. Математическое ожидание. Среднее значение. Дисперсия. Стандартное отклонение. Центральные моменты. Коэффициенты асимметрии и эксцесса. Нера­венства Чебышева и Иенсена. Производящие функции моментов и характеристиче­ские функции. Случайные переменные (двумерный случай). Ковариация. Неравен­ство Коши-Шварца. Коэффициент корреляции. Предельные и условные плотно­сти. Стохастическая независимость. Условные математическое ожидание и диспер-

сия. Преобразование стохастических переменных. Статистические выводы. Смеще­ние. Среднеквадратичная ошибка. Вероятностные пределы. Состоятельность. Кри­терий проверки гипотез. Мощность статистического критерия. Ошибки I и II типа. Уровень значимости. Критическая вероятность (Р-значение). Закон больших чи­сел. Центральная предельная теорема.

32. Распределения вероятностей. Метод наименьших квадратов

 Распределения бета, биномиальное, бинормальное, х2-, экспоненциальное, экстре­мального значения (Гумбеля), F-, гамма-, геометрическое, гипергеометрическое, Лапласа, логистическое, логарифмически нормальное, полиномиальное, многомер­ное нормальное, отрицательное биномиальное, нормальное, Парето, Пуассона, t-распределение стьюдента, равномерное и Вейбулла. Метод наименьших квадра­тов. Множественная регрессия.

 

Литература

Предметный указатель

Вернуться

Координация материалов. Экономическая школа




Расчетный счет для ИП и юрлиц бесплатно без визита в банк

- 0 руб. открытие счета и подключение интернет-банка
- 0 руб. интернет-банк и мобильный банк для управления счетом
- 0 руб. выпуск бизнес-карты для внесения и снятия наличных в любом банкомате
- 0 руб. первое внесение наличных на счет
- 0 руб. налоговые и бюджетные платежи, переводы юрлицам и ИП в Альфа-Банке
- 0 руб. обслуживание счете если нет оборотов

Преимущества для клиентов:

- 9 000 руб. на рекламу в Яндексе
- до 50 000 руб. на продвижение в социальных сетях
- Доступ ко всем рабочим инструментам «Битрикс24» на полгода бесплатно
- 15 месяцев онлайн-бухгалтерии Эльба для новых ИП бесплатно
- Сертификат на подбор персонала в HeadHunter
ГЕО: Вся РФ (кроме Крыма и Чечни)

РКО Альфа-Банк [CPS] RU




Контакты


Институт "Экономическая школа" Национального исследовательского университета - Высшей школы экономики

Директор Иванов Михаил Алексеевич; E-mail: seihse@mail.ru; sei-spb@hse.ru

Издательство Руководитель Бабич Владимир Валентинович; E-mail: publishseihse@mail.ru

Лаборатория Интернет-проектов Руководитель Сторчевой Максим Анатольевич; E-mail: storch@mail.ru

Системный администратор Григорьев Сергей Алексеевич; E-mail: _sag_@mail.ru